Открытая Математика. Алгебра. Понятие логарифма

Понятие логарифма

Логарифмом числа b по основанию a (b > 0, $a > 0, a \neq 1$ ) называется показатель степени, в который нужно возвести число a, чтобы получить число b: $a^{{log}_{a} b} = b .$

Это равенство, выражающее определение логарифма, называется основным логарифмическим тождеством. Равенство ${log}_{a} b = x$ означает, что $a^{x} = b .$ Из определения логарифма получаются следующие важные равенства: ${log}_{a} 1 = 0,$ ${log}_{a} a = 1.$ Эти тождества следуют из равенств $a^{0} = 1$ и $a^{1} = 1 .$ Логарифм по основанию 10 имеет специальное обозначение ${log}_{10} x = lg x$ и называется десятичным логарифмом. Для десятичных логарифмов справедливы равенства: $10^{lg x} = x,$ $lg 10^{n} = n .$

lg 1 = 0	lg 0,1 = –1
lg 10 = 1	lg 0,01 = –2
lg 100 = 2	lg 0,001 = –3
lg 1000 = 3	lg 0,0001 = –4

Логарифм по основанию e имеет в математике большое значение. Число e приблизительно равно 2,7. Более точное выражение: $e \approx 2,718281828459045 ...,$ однако само число e является иррациональным. Для логарифма по этому основанию также существует специальное обозначение ${log}_{e} x = ln x$ и название натуральный логарифм. Среди свойств числа e, в частности, можно отметить следующее: касательная к графику функции $y = e^{x}$ в точке (0; 1) образует с осью абсцисс угол 45°.

Вычислите 1) ${log}_{1 / 2} \sqrt[4]{2};$ 2) ${log}_{3} 81;$ 3) $4^{2 - {log}_{2} 3} .$

1) ${log}_{1 / 2} \sqrt[4]{2} = - \frac{1}{4},$ так как ${(\frac{1}{2})}^{- 1 / 4} = 2^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{2} .$

2) ${log}_{3} 81 = 4,$ так как $3^{4} = 81.$

3) $4^{2 - {log}_{2} 3} = \frac{4^{2}}{4^{{log}_{2} 3}} = \frac{16}{2^{{log}_{2} 3} ċ 2^{{log}_{2} 3}} = \frac{16}{3 ċ 3} = \frac{16}{9} .$

Ответ. 1) $- \frac{1}{4};$ 2) 4; 3) $\frac{16}{9} .$

Вычислите 1) $ln \frac{1}{e^{3}}$ ; 2) $lg \frac{0,01}{\sqrt{100}}$ .

1) $ln \frac{1}{e^{3}} = - 3$ так как $e^{- 3} = \frac{1}{e^{3}} .$

2) $lg \frac{0,01}{\sqrt{100}} = lg \frac{0,01}{10} = lg 0,001 = - 3.$

Ответ. 1) −3; 2) −3.

Смотрите также: Математика, Английский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: библиотека ЭОРов и образовательный онлайн-сервис с тысячами интерактивных работ "Облако знаний".

Учебник. Понятие логарифма

ГЛАВНАЯ

НОВОСТИ

УЧЕБНИК

ДОСТУП К БЕСПЛАТНЫМ УРОКАМ